Der Satz von Frégier
... und mehrere Entdeckungen

  von

Markus Heisss

Würzburg, Bayern

05/2020  (Stand:  11. März 2021)

 

 Zur Vergrößerung klicke man auf die Abbildungen.

Die folgenden Graphiken dürfen vervielfältigt werden, aber ohne Veränderung!

Die wichtigsten Informationen sind in den jeweiligen Zeichnungen enthalten.

 

In der ersten Zeichnung ist der "Satz von Frégier" grafisch dargestellt:

 

Frégier-Punkt, Fregier, Theorem von Frégier, Fregier, Ellipse, Hyperbel, Parabal, Kegelschnitte, Geometrie
Abb. 01: Satz von Frégier

 

Als nächstes ist der umgekehrte Fall gezeigt.

Der Frégier-Punkt S ist gegeben

und der Ausgangspunkt P soll konstruiert werden:

 

Satz von Frégier, Frégier-Punkt, Ellipse, Geometrie
Abb. 02: Konstruktion des Ex-Frégier-Punktes

 

Dieser Ausgangspunkt P hat meines Wissens bislang keine offizielle Bezeichnung.

Er wird daher im weiteren Verlauf als "Ex-Frégier-Punkt" bezeichnet.

(Mehr dazu weiter unten.)

 

Nun kann man verschiedene Kegelschnitte untersuchen,

auf denen wichtige Punkte liegen.

 

So liegt z.B. der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel auf der Steiner-Inellipse.

Siehe nächste Abbildung:

 

Fregier, Steiner, Inellipse, Kiepert, Symmedianen-Punkt, Heisss, Würzburg, Entdeckung
Abb. 03: Satz von Frégier mit Punkt X115 bezüglich Steiner-Inellipse

 

Es zeigt sich, dass der Frégier-Punkt des Mittelpunktes der Kiepert-Hyperbel (= X115)

bezüglich der Steiner-Inellipse der Symmedianen-Punkt K (= X6) ist.

Oder anders herum ausgedrückt:

Ist der Frégier-Punkt der Symmedianen-Punkt K bezüglich der Steiner-Inellipse,

dann ist der Ex-Frégier-Punkt der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel (= X115).

 

Analog wird jetzt mit dem Steiner-Punkt (= X99)

bezüglich der Steiner-Ellipse (oder Steiner-Umellipse) verfahren:

 

Frégier, Fregier, Steiner, Ellipse, Hyperbel, Punkt, Entdeckung, Würzburg
Abb. 04: Satz von Frégier mit Steiner Punkt bezüglich Steiner-Ellipse

 

Der Frégier-Punkt Q des Steiner-Punktes X99 bezüglich der Steiner-Ellipse

ist allerdings kein bedeutender Punkt des Dreiecks ABC.

 

 

Als nächstes werden die Frégier-Punkte von mehreren Ausgangspunkten ermittelt,

die alle auf demselben Kegelschnitt liegen:

 

Frégier-Ellipse, Satz von Frégier, Frégier-Punkt,
Abb. 05: Frégier-Ellipse am Beispiel der Steiner-Ellipse

 

Die Frégier-Punkte der Punkte einer Ellipse liegen also wieder auf einer Ellipse,

der sogenannten Frégier-Ellipse.

 

Nun kann man z.B. auch den "Frégier-Punkt des Frégier-Punktes"

bezüglich der Frégier-Ellipse ermitteln:

 

Frégier Punkt, Fregier-Punkt, Formel, Streckung, Steiner-Ellipse, Heisss
Abb. 06: Der Verkleinerungsfaktor der Frégier-Ellipse

 

Diese Kenntnisse könnte man auch zur Konstruktion der Halb-Achsen der Steiner-Ellipse nutzen,

denn diese entsprechen den Winkelhalbierenden der Winkel KGX99 und KGX115.

Allerdings konstruiert man die Halb-Achsen auf anderem Wege schneller. [... wie hier]

 

Nachtrag (am 11. März 2021):

D. Reznik & M. Helman machten zu diesem Phänomen

weitere Untersuchungen und fanden noch andere Beziehungen,

die in einer dynamischen Zeichnung als Video auf YouTube zu sehen sind.

Allerdings auf Englisch. Aber sehr empfehlenswert!

Interessiert?

Dann klicken Sie [hier].

 

 

 

 

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Analog kann man auch bei einer Parabel oder Hyperbel verfahren.

Man erhält dann die entsprechende Frégier-Parabel bzw. Frégier-Hyperbel,

nur mit anderen Formeln für den Streckungsfaktor.

 

Allerdings ist die Kiepert-Hyperbel ein Spezialfall.

Auf ihr liegen neben A, B und C auch viele wichtige Kimberling-Centers, wie ...

Schwerpunkt G (=X2), Höhenschnittpunkt H (=X4), X10 (= Spieker-Punkt),

X13 (= erster Fermat-Punkt), X14 (= zweiter Fermat-Punkt),

X17 (= erster Napoleon-Punkt), X18 (= zweiter Napoleon-Punkt),

X98 (= Tarry-Punkt), etc.

 

[Die Auflistung der sog. Kimberling-Centers

- allerdings in englischer Sprache -

findet man hier.]

 

Dann zuerst eine Abbildung der Kiepert-Hyperbel:

 

Kiepert, Hyperbel, Napoleon-Punkt, Geometrie
Abb. 07: Kiepert-Hyperbel

 

[Weitere Informationen zur Kiepert-Hyperbel

- allerdings in englischer Sprache -

findet man hier.]

 

Jetzt der Frégier-Punkt des Schwerpunktes G bezüglich der Kiepert-Hyperbel:

 

Frégier-Punkt, Theorem, Kiepert, Punkt im Unendlichen, Markus Heisss, Würzburg, Unterfranken
Abb. 08: Satz von Frégier mit Schwerpunkt bezüglich Kiepert-Hyperbel

 

Wie aus der Zeichnung ersichtlich, muss der
Frégier-Punkt im Unendlichen liegen.

 

Analog dazu der Frégier-Punkt des Höhenschnittpunktes H bezüglich der Kiepert-Hyperbel:

 

Frégier, Entdeckung, Mathematik, Heisss, nicht an der Universität Würzburg,
Abb. 09: Satz von Frégier mit Höhenschnittpunkt bezüglich Kiepert-Hyperbel

 

Wieder liegt der Frégier-Punkt im Unendlichen.

 

Nächster Versuch mit dem Tarry-Punkt (=X98) bezüglich der Kiepert-Hyperbel:

 

Tarry-Punkt, Kiepert-Hyperbel, Frégier-Punkt, Dreieck, Geometrie, Kimberling, Heisss,
Abb. 10: Satz von Frégier mit Tarry-Punkt X98 bezüglich Kiepert-Hyperbel

 

Auch hier liegt der Frégier-Punkt im Unendlichen.

 

Es wurde in den drei vorangegangenen Fällen nicht weiter untersucht,

ob diese im Unendlichen liegenden Punkte irgenwelche Kimberling-Centers sind.

Aber:

Tests zeigten, dass alle Frégier-Punkte von irgendwelchen Punkten auf der Kiepert-Hyperbel

bezüglich der Kiepert-Hyperbel im Unendlichen liegende Punkte sind.

 

Abschließende Bemerkung:

Natürlich könnten genauso andere Kegelschnitte auf Frégier-Punkte hin analysiert werden,

wie Brocard-Ellipse, Mandart-Ellipse, Kiepert-Parabel usw.

Oder man nimmt wichtige Punkte als Frégier-Punkte und ermittelt dazu die Ex-Frégier-Punkte.

Auch da könnte man auf interessante Zusammenhänge stoßen.

 

Viel Erfolg bei der Suche!

 

 

Als Quellenangabe zitiere man: 

https://sss-geometrie.jimdofree.com


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Betreff: "Satz von Frégier"