Der Kreis durch O, N und K
... und einige Besonderheiten
O = X3 = Umkreismittelpunkt
N = X5 = Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises
K = X6 = Symmedianen-Punkt

  von

Markus Heisss

Würzburg, Bayern

04/2024  (Stand:  22. April 2024)

 

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Die folgenden Graphiken dürfen vervielfältigt werden, aber ohne Veränderung!

Die wichtigsten Informationen sind in den jeweiligen Zeichnungen enthalten.

 

 

Einige Vorab-Informationen:

Die Bezeichnung eines Punktes mit "Xn" gibt seine Stellung in der Tabelle der "Kimberling Centers" an.

Der 'Feuerbach-Kreis' wird auch als 'Neun-Punkte-Kreis' bezeichnet.

Der 'Symmedianen-Punkt' ist auch unter den Namen 'Lemoine-Punkt' oder 'Grebe-Punkt' bekannt.

 

Umkreismittelpunkt, Feuerbachkreis, Symmedianen Punkt, Grebe, Lemoine, Zentrum der Kiepert-Hyperbel,
Abb. 01: X115 liegt auf dem Kreis durch O, N und K

 

 

Zentrum der Kiepert-Hyperbel, Neunpunktekreis, Umkreismittelpunkt, Heisss, Heiss
Abb. 02: Beziehung mit dem Lester-Kreis

 

Der Mittelpunkt des Lester-Kreises ist bekannt als 'Kimberling Center' X1116.

Dieser Mittelpunkt liegt auf der Geraden X140-X523.

X140 ist der Mittelpunkt der Strecke ON.

Aber X523 ist ein Punkt, der auf der 'Line at Infinity' liegt.

Deshalb denke ich, dass der Mittelpunkt des Kreises durch O, N und K

noch nicht in der 'Encylopedia of Triangle Centers' enthalten ist.

 

Der Link zu dieser Enzyklopädie (in englischer Sprache), wo man mehr Informationen bekommt:

[hier]

 

orthozentroidal, Lester-Kreis, Kimberling, X(140), X(115), Orthozentroidal-Kreis mit HG als Durchmesser
Abb. 03: Kreis durch O, N und K ist orthogonal zum Orthozentroidal-Kreis

 

Der Radius des Kreises, auf welchem O, N und K liegen

lässt sich mit Hilfe der folgenden Formeln berechnen:

 

Abstand, Formel, Umkreismittelpunkt, Feuerbach, Neunpunkte
Abb. 04: Der Radius des Kreises durch O, N und K

 

Der Link zur Tabelle mit den 'Kimberling centers': [hier]

 

Den Beweis, dass X115 auf dem Kreis durch die Punkte O, N und K liegt,

gibt's in englischer Sprache: [hier]

 

 

 

 

Wer an den Berechnungen Interesse hat, kann versuchen,

die folgenden Formeln zu kopieren (z.B. in Mathematica).

Bei mir hat's funktioniert.


R=     a*b*c/4/delta


delta=     1/4*((2*(a*a*b*b+b*b*c*c+c*c*a*a)-((a^4)+(b^4)+(c^4)))^(1/2))


ON=      1/2*(9*((a*b*c/((2*(a*a*b*b+b*b*c*c+c*c*a*a)-((a^4)+(b^4)+(c^4)))^(1/2)))^2)-(a^2+b^2+c^2))^(1/2)

OK=      (a*b*c)*((((a^4)+(b^4)+(c^4))-(a*a*b*b+b*b*c*c+c*c*a*a))^(1/2))/((((2*(a*a*b*b+b*b*c*c+c*c*a*a)-((a^4)+(b^4)+(c^4))))^(1/2))*(a^2+b^2+c^2)/2)

HK=      (4*((a*b*c)/((2*(a*a*b*b+b*b*c*c+c*c*a*a)-((a^4)+(b^4)+(c^4)))^(1/2)))^2-((a^4)+(b^4)+(c^4))/(a^2+b^2+c^2)-3*((a*b*c)*(a*b*c))/((a^2+b^2+c^2)^2))^(1/2)

NK=      (1/(2^(1/2))*((HK*HK+OK*OK-2*ON*ON)^(1/2)))

 

RONK=    ON*OK*NK/((2*(ON*ON*OK*OK+OK*OK*NK*NK+NK*NK*ON*ON)-(ON^4+OK^4+NK^4))^(1/2))

 

 

Als Quellenangabe zitiere man:

https://sss-geometrie.jimdofree.com/kreis-durch-die-punkte-o-n-k/


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Interesse an meinen anderen geometrischen Entdeckungen?

[hier]

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... zum Autor vielleicht möglich per e-Mail unter:   §@gmx.de   wobei   § = heisss

Betreff: "Kreis-durch-O-N-K"